فورمووڵی براھماگوپتا

لە ئەندازەی ئیقلیدسیدا، فورمووڵی براھماگوپتا فورمووڵێکە بۆ دۆزینەوەی ڕووبەری چوارلایەکی بازنەیی، ئەم فورمووڵە لە کاتێکدا بەکاردێت کە درێژایی لایەکانی چوارلایەکە زانراو بێت. فورمووڵی براھماگوپتا گشتێنراوی فورمووڵی ھێرۆنە.

فورمووڵ

ئەگەر K ڕووبەری چوارلایەکە بێت و درێژایی لایەکانی چوارگۆشەکە بەم شێوە بن a، b، c، d. ئەوا فورمووڵی براھماگوپتا بەم شێوەیە:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

لێرەدا s نیوەی چێوەیە:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

سەلماندن

ئەگەر K ڕووبەری چوارلای بازنەیی بێت، ئەوا K یەکسانە بە سەرجەمی ڕووبەری دوو سێگۆشەی △ADB و △BDC:

$={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.$

لەبەر ئەوەی ABCD چوارلایەکی دەوردراوە، کەوایە ∠DAB = ۱۸۰° − ∠DCB.

لەمەوە sin A = sin C

واتە:

$K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A$

$K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A$

$4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)$

بۆ دۆزینەوەی لای ھاوبەشی DB لە △ADB و △BDC یاسای کۆساینەکان بەکار دەھێنین:

$p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.$

لەبەر ئەوەی cos C = −cos A (چونکە گۆشەی A و C دوو گۆشەی پڕکەرن) ئەوا:

$2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.$

$4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}$

$16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.$

بە بەکارھێنانی ھاوئەنجامی جیاوازیی دوو دووجا:

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,\!$

ئەوا:

$[2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]$

لەمەوە

$=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]$

$=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).$

بە دانانی (S = p + q + r + s/2) لە فورمووڵەکەدا ئەوا:

$16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).$

لە ھەر دوو لای ھاوکێشەی سەرەوە ڕەگی دووجا وەردەگرین:

$K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «Brahmagupta's formula»، ویکیپیدیای ئینگلیزی. سەردان لە ١٧ی ئازاری ٢٠٢١.