فاکتۆریێل

لە بیرکاریدا فاکتۆریێل (بە فەڕەنسی: Factorielle) یان لێکدراوی ژمارەیەکی سروشتی بریتییە لە ئەنجامی لێکدانی ژمارەکە لە تەواوی ژمارە تەواوە ئەرێنییەکانی چووکەتر لە خۆی. فاکتۆریێلی ژمارەی $n$ بە $n!$ ھێما دەکرێ و «ئێن فاکتۆریێل» دەخوێندرێتەوە. بە پێی گرێبەست، فاکتۆریێلی سیفر دەبێتە یەک.

$n$	$n!$
٠	١
١	١
٢	٢
٣	٦
٤	٢٤
٥	١٢٠
٦	٧٢٠
٧	٥،٠٤٠
٨	٤٠،٣٢٠
٩	٣٦٢،٨٨٠
١٠	٣،٦٢٨،٨٠٠
١١	٣٩،٩١٦،٨٠٠
١٢	٤٧٩،٠٠١،٦٠٠
١٣	٦،٢٢٧،٠٢٠،٨٠٠
١٤	٨٧،١٧٨،٢٩١،٢٠٠
١٥	١،٣٠٧،٦٧٤،٣٦٨،٠٠٠
٢٠	٢،٤٣٢،٩٠٢،٠٠٨،١٧٦،٦٤٠،٠٠٠
٢٥	١٥،٥١١،٢١٠،٠٤٣،٣٣٠،٩٨٥،٩٨٤،٠٠٠،٠٠٠

پێناسە

ڕێسای فانکشنی فاکتۆریێل بەم شێوەیە:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!$

$n!={\begin{cases}n\leq 1&1\\n>1&n(n-1)!\\\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} .$

نموونە

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720\$

فاکتۆریێلی ژمارە ناسروشتییەکان

بۆ ھەژمارکردنی فاکتۆریێلی ژمارە ناسروشتییەکان، لە پێناسەی فانکشنی گاما کەلک وەردەگیرێت، بەم شێوە $n!=\Gamma (n+1)$. لە خوارەوە ئەم باسە زۆرتر ڕوون کراوەتەوە.

پێناسەی سەرەکیی فاکتۆریێل

ڕوونکردنەوەی فانکشنی فاکتۆریێل

لە ئاستێکی سەرتردا، بە بەکارھێنانی فانکشنی گاما، پێناسەیەک بۆ فاکتۆریێل خراوەتەڕوو، کە بەپێی ئەم پێناسەیە، دەتوانرێت بۆ ھەموو ژمارەیەک، بێجگە لە ژمارە تەواوە نەرێنییەکان بەھای فاکتۆریێل ھەژمار بکرێت:

$n!=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt$

بەپێی ئەم پێناسەیە، بەھای فاکتۆریێل سەرەڕای ژمارە سروشتییەکان، بۆ ھەموو ژمارەیەک بەدەست دێت. سەبارەت بە ژمارە تەواوە نەرێنییەکان بەھای فاکتۆریێل بەرەو ناکۆتا دەڕوات. ھەژمارکردنی فاکتۆریێل لەم ڕێگەوە، پێوستی بە زانینی ماتماتیک لە ئاستێکی پێشکەوتوودایە، و لە فیزیک و زانستەکانی تردا گرینگی و جێبەجێکردنی زۆری ھەیە.

ئەم پەیوەندییەش سەرنجڕاکێشە بیزانین: $(-{\frac {1}{2}})!={\sqrt {\pi }}$

ھەندێک پەیوەندیی فاکتۆریێلی

$\log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x.$

$e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.$

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

$n!=\Gamma (n+1).\,$

${\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots .\end{aligned}}$

$z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}.$

$(2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {{(2k)}^{\underline {k}}}{2^{k}}}.$

$n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}},\,$

ئەمانەش ببینە

• نزیکخستنەوەی ئێسترلینگ

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «فاکتوریل»، ویکیپیدیای فارسی. سەردان لە ٤ی نیسانی ٢٠١٨.