مەیدان (ماتماتیک)

لە ماتماتیکدا، مەیدان یان بوار (بە ئینگلیزی: Field) کۆمەڵەیەکە، چوار کردەی کۆکردنەوە، لێدەرکردن، لێکدان و دابەشکردن، لەسەری پێناسە کراون. ئەم چوار کردەیە لە مەیدانەکاندا ڕەفتارێکی ھاوشێوەی چوار کردەی سەرەکییان ھەیە لە ژمارە ڕاستەقینەکان و ژمارە ڕێژەیەییەکاندا. مەیدان پێکھاتەیەکی جەبرییە، بە فرەوانی لە جەبر، تیۆریی ژمارەکان و زۆربەی لقەکانی تری ماتماتیک بەکار دەھێنرێت.

بە بەکارھێنانی مەیدانی Constructible number دەتوانین بسەلمێنین حەوتلایەکی ڕێک بە ڕاستە و پەرگار ناکێشرێتەوە

نموونەیەک لە ناسراوترین مەیدانەکان، مەیدانی ژمارە ڕێژەیییەکان، مەیدانی ژمارە ڕاستەقینەکان و مەیدانی ژمارە ئاوێتەکانن. زۆرێک لە مەیدانەکانی تر لە ماتماتیکدا، وەکوو مەیدانی فانکشنە جەبرییەکان، مەیدانی ژمارە جەبرییەکان و مەیدانی p-adicـەکان بە گشتی بە تایبەت لە بواری تیۆریی ژمارەکان و ئەندازەی جەبریدا بەکار دەھێنرێن.

مەیدانەکان بناغەی ھەندێک لە بوارەکانی ماتماتیک دادەڕێژن وەک شیکاریی ماتماتیکی کە بەندە لەسەر مەیدانەکان.

پێناسە

بە شێوی نافەرمی، دەکرێت مەیدان وەکوو کۆمەڵەیەک چاو لێ بکەین، کە دوو کردە لەسەری پێناسە کراون، یەکیان کۆکردنەوەیە و بە زمانی ماتماتیک بەم شێوە a + b دەنووسرێت، ئەوەی تریان لێکدانە و بە a ⋅ b ھێما دەکرێت. ئەم دوو کردەیە، ڕەفتارێکی ھاوشێوەیان ھەیە، بۆ نموونە دژە کۆکردنەوەی ھەموو ئەندامانی وەکوو a بوونی ھەیە و دەکاتە −a، ھەروەھا دژە لێکدانی ھەموو ئەندامە ناسیفرەکان وەکوو b بوونی ھەیە و دەبێتە b⁻¹.

پێناسەی کلاسیک

مەیدانی F بە فەرمی بەم شێوەیە پێناسە دەکرێت، کۆمەڵەیەکە دوو کردەی کۆکردنەوە و لێکدان لەسەری پێناسە کراون. کردەیەکی دوانی لەسەر F بە زمانی ماتماتیک بە نەخشەیەک وەکوو F × F → F دەردەبڕن. ئەنجامی کۆکردنەوەی a و b بە شێوەی a + b دەنووسرێت. بە ھەمان شێوە، ئەنجامی لێکدانی a و b بە ab یان a ⋅ b ھێما دەکرێت. ئەم دوو کردەیە لە داھاتوودا بۆ پاسادانی تایبەتمەندییەکانی مەیدان، پێویستن، بەم تایبەتمەندییانە دەڵێن بەڵگەنەویستەکانی مەیدان، لێرەدا a ،b و c سێ ئەندامی دڵخوازن لە مەیدانی Fدا.

• یەکتربەستنی کۆکردنەوە و لێکدان:

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

• ئاڵوگۆڕی کۆکردنەوە و لێکدان:

$a+b=b+a\,$

$a.b=b.a\,$

• ئەندامی بێ لایەنی کۆکردنەوە و لێکدان: دوو ئەندامی جیاوازی 0 و 1 لە Fدا ھەیە، بە شێوەیەک a + 0 = a و a · 1 = a
• دژە کۆکردنەوە: بۆ ھەر a لە Fدا ئەندامێک ھەیە لە Fدا، بە −a ھێما دەرکرێت و پێی دەوترێت دژە کۆکردنەوەی a، لەمەوە a + (−a) = 0.
• بەشینەوەی لێکدان بەسەر کۆکردنەوەدا

$a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$

ئەم بەڵگەنەویستانە بەم شێوە پوخت دەکرێنەوە. مەیدانێک دوو کرداری لەسەر پێناسە کراوە، پێیان دەوترێت، کۆکردنەوە و لێکدان. مەیدان بەپێی کۆکردنەوە گرووپێکی ئالوگۆڕە و 0 ئەندامی بێ لایەنی ئەم گرووپەیە؛ ئەندامە ناسیفرەکانیش بەپێی لێکدان، گرووپێکی ئالوگۆڕن کە ئەندامە بێ لایەنەکەیان بریتییە لە 1 ؛ لێکدان بەسەر کۆکردنەوەدا خاسیەتی بەشینەوەی ھەیە.

نموونە

ژمارە ڕێژەیییەکان

ژمارە ڕێژەیییەکان بەو ژمارانە دەوترێت کە لەسەر شێوەی کەرتی a/b دەنووسرێن. لێرەدا a و b ژمارەی تەواون و b ≠ 0. دژە کۆکردنەوە بریتییە لە −a/b و دژە لێکدان دەکاتە b/a بەو مەرجەی (a ≠ 0).

${\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.$

بۆ نموونە خاسیەتی بەشینەوە بەشێوەی خوارەوە دەسەلمێنرێت:

${\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «Field (mathematics)»، ویکیپیدیای ئینگلیزی. سەردان لە ١١ی حوزەیرانی ٢٠٢٠.