ژمارەی ئاوێتە

ژمارەی ئاوێتە (بە ئینگلیزی: Complex number)، ژمارەیەکە بە شێوەی a + bi کە a و b ژمارەی ڕاستین و i یەکەی خەیاڵییە بەم شێوەیە کە $i^{2}=-1$.

• $I_{m}z=b$
• $R_{e}z=a$

دیاگرامی ژمارەیەکی ئاوێتە لەسەر ڕووتەختی ئاوێتە لێرەدا $a$ بەشی ڕاستی و $b$ بەشی خەیاڵی ژمارەی ئاوێتەیە

ھەموو ژمارە ڕاستییەکان دەکرێت بەشێوەی ژمارەیەکی ئاوێتە کە بەشی خەیاڵییەکەی سیفرە بنووسرێن بۆ نموونە ژمارەی ڕاستی $a$ بە شێوەی $a+0i$. کۆمەڵەی ژمارە ئاوێتەکان بە شێوەی $C=\left\{a+ib|a,b\in R,i^{2}=-1\right\}$ پێناسە دەکرێت.

کردارەکان لەسەر ژمارە ئاوێتەکان

کۆکردنەوە و لێدەرکردنی ژمارە ئاوێتەکان ھاوشێوەی کۆکردنەوە و لێدەرکردنی ئەو بڕە جەبرییانەیە کە چەند تێرمێکی ھاوشێوەی تێدایە. بۆ کۆکردنەوەی ژمارە ئاوێتەکان بەشە ڕاستییەکان بە یەکەوە و بەشە خەیاڵییەکان بە یەکەوە کۆ دەکرێنەوە:

$\,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$\,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

لێکدانی ژمارە ئاوێتەکان: لێرەدا بەشە خەیالییەکان وەک تێرمە لێکچووەکان سەیر دەکرێن

$\,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$

بە گۆڕینی i ² = −1

شێوە جەمسەرییەکەی ژمارەی ئاوێتە

$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ یان $re^{i\varphi }$ بریتییە لە شێوەی جەمسەری ئەو خاڵەی لە وێنەکەدا دیاری کراوە.

شێوە جەمسەریەکەی ژمارەی ئاوێتەی z = x + yi بریتییە لە $z=re^{i\varphi }\,$ کاتێک $\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$ و $\tan(\varphi )={\frac {y}{x}}\,$

لێکدان و دابەشکردن

 :$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

لێکدان و دابەشکردنی ژمارە ئاوێتەکان لە شێوەی جەمسەریدا سادەترە لە شێوەی دیکارتی، بۆ دوو ژمارەی ئاوێتە وەکوو

z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) و z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂)

بە بەکارھێنانی ڕێژە سێگۆشەییەکان:

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

لێکدانی دوو ژمارەی ئاوێتە لە شێوەی جەمسەریدا بەم شێوەیە:

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

بە ھەمان شێوە دابەشکردنی دوو ژمارەی ئاوێتە لە شێوەی جەمسەریدا بریتییە لە:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

مەیدانی ژمارە ئاوێتەکان

ژمارە ئاوێتەکان دەتوانرێت بە شێوەی جووتەڕێکخراوێک وەکوو (a, b) لە ژمارە ڕاستەقینەکان دیاری بکرێن، لەم بارەدا دوو کرداری کۆکردنەوە و لێکدان بەم شێوە پێناسە دەکرێت:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,$

ژمارە ئاوێتەکان مەیدان یان بوارێک دروست دەکەن، پێی دەوترێت مەیدانی ئاوێتە و بە C ھێما دەکرێت.

ڕووتەختی ئاوێتە

وتاری سەرەکی: ڕووتەختی ئاوێتە

ڕووتەختی ئاوێتە دیاگرامێکی ئەندازەیییە بۆ نواندنی ژمارە ئاوێتەکان بەکار دێت.

ڕەگی nـەمی ژمارە ئاوێتەکان

وا دابنێ n ژمارەیەکی سروشتی بێت، بە ژمارەی ئاوێتەی Z ڕەگی nـەمی ژمارەی ئاوێتەی Z₀ دەوترێت ئەگەر:

$z=z_{0}^{1/n}$

ئەمانەش ببینە

• ئاوەڵی ژمارەی ئاوێتە