کراوەی دوو تێرمی

لە بیرکاری و ھەروەھا لە جەبری سەرەتاییدا٬ کراوەی دوو تێرمی (بە ئینگلیزی: Binomial expansion) یان تیۆرمی دوو تێرمی یان کراوەی دوو ڕادەیی بە کردنەوەی جەبریی توانە بەرزەکانی دوو تێرمی دەوترێت. بەپێی ئەم سەلمێنراوە:

هەر ڕیزێک لە ڕیزەکانی سێگۆشەی پاسکاڵ لە ھاوکۆلکەی کراوەی دوو تێرمی پێکھاتووە.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,$

$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,$

لە کاتی کردنەوەی $(a+b)^{n}$، توانی $a$ لە $n$ـەوە بۆ سیفر کەم دەبێتەوە و توانی $b$ لە سیفرەوە بۆ $n$ زیاد دەبێت و کۆی ھەر دوو توانەکانی $a$ و $b$ لە ھەر تێرمێکدا، دەکاتەوە $n$.

$(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+...+{\binom {n}{n}}b^{n}$

سەلماندن

بۆ سەلماندنی ڕاستیی کراوەی دوو تێرمی، بۆ ھەر بەھایەکی سروشتی وەک n لە ڕێگەی دەرئەنجامی بیرکاری ئەم ھەنگاوانە پەیڕەو دەکرێت:

1. یاساکە ڕاستە کاتێک n = ۰

$(a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.$

1. وا دابنێ دەستەواژەکە بۆ m ڕاستە.
2. بەم شێوە بۆ n = m + 1 دەسەلمێنرێت:

$(a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,$

$=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}$

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}$

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

$=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «بسط دو جملەای»، ویکیپیدیای فارسی. سەردان لە ١ی ئەیلوولی ٢٠١٨.