میتۆدی نیوتن

میتۆدی نیوتن یان ڕێگەی نیوتن (بە ئینگلیزی: Newton's method) ھەروەھا بە میتۆدی نیوتن-ڕافسۆنیش ناسراوە، شێوازێکی ژمارەیییە بۆ دۆزینەوەی ڕەگەکانی فانکشنێک بەکار دێت. ناوی ئەم میتۆدە لە ناوی ئایزک نیوتن و جۆزیف ڕافسۆن وەرگیراوە.

فانکشنی $f$ بە ڕەنگی شین دیاری کراوە و ھێڵە سوورەکە بریتییە لە هێڵی لێکەوت

وا دابنێ، فانکشنێکمان ھەیە و دەمانھەوێت ڕەگەکانی فانکشنەکە یان بە دەستەواژەیەکی تر شوێنی یەکتربڕینی فانکشنەکە لەگەڵ تەوەری $x$ـەکان بدۆزینەوە:

$x:f(x)=0\,.$

لە میتۆدی نیوتن-ڕافسۆندا سەرەتا $x_{0}$ مەزندە دەکرێت و لە فورموولی خوارەوەدا دادەنرێت و $x_{1}$ دەست دەکەویت. بە ھەمان شێوە $x_{1}$ لە فورمووڵەکەدا دادەنرێت و $x_{2}$ دەدۆزرێتەوە و ... ھەر وەک لە وێنەی بەرامبەردا ڕوون کراوەتەوە (فانکشنەکە لەم وێنەدا بە ڕەنگی شین دیاری کراوە). بە زمانی بیرکاری:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,$

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,.$

ھەر چەند ژمارەی دووبارەکردنەوەکان زۆرتر بێت، ئەو $x$ـەی بەدەست دێت لە ڕەگی فانکشنەکە نزیکتر دەبێت.

نموونە

ڕەگی دووجای ژمارەکان

مێتۆدی نیوتن یەکێکە لە ڕێگاکانی ھەژمارکردنی ڕەگی دووجای ژمارەکان، بۆ نموونە، دۆزینەوەی ڕەگی دووجای $612$، یەکسانە لەگەڵ دۆزینەوەی وڵامی ھاوکێشەی:

$x^{2}=612$

فانکشنەکە بەم شێوە پێناسە دەکرێت:

$f(x)=x^{2}-612$

و گرتەی فانکشنی $f$ یەکسانە بە:

$f'(x)=2x.\,$

${\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&10-{\dfrac {10^{2}-612}{2\times 10}}&=&35.6\qquad \qquad \qquad \quad \;\,{}\\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&35.6-{\dfrac {35.6^{2}-612}{2\times 35.6}}&=&{\underline {2}}6.395\,505\,617\,978\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.7}}90\,635\,492\,455\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.738\,6}}88\,294\,075\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.738\,633\,753\,7}}67\dots \end{matrix}}$

شیکاریی ھاوکێشەی cos x = x³

f (x) = cos(x) − x³.

f ′(x) = −sin(x) − 3x²

${\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «Newton's method»، ویکیپیدیای ئینگلیزی. سەردان لە ٦ی ئازاری ٢٠١٩.