نایەکسانیی کۆشی–شوارتز

نایەکسانیی کۆشی–شوارتز یان نایەکسانیی کۆشی–شوارتز-بونیاکوفسکی (بە ئینگلیزی: Cauchy–Schwarz inequality) نایەکسانییەکی زۆر بەکەڵکە لە بیرکاریدا و لە بوارە جیاوازەکانی جەبری ھێڵی، شیکاریی بیرکاری و بیردۆزی ئەگەر کەلکی زۆری لێ وەردەگیرێت. نایەکسانی کۆشی شوارتز یەکێک لە گرینگترین نایەکسانییەکانی بیرکارییە، ناوی ئەم نایەکسانییە لە ناوی دوو ماتماتیکزان ئۆگوستین-لوی کۆشی و ھێرمان ئاماندوس شوارتز وەرگیراوە.

پێناسە

بە پێی نایەکسانی کۆشی شوارتز ئەگەر x و y دوو ئاڕاستەبڕی دڵخواز بن لەناو بۆشایی لێکدانی سکالێر ئەوا:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

لێرەدا $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ھێمایەکە بۆ دیاریکردنی بەبڕلێکدان. ھەروەھا ئەگەر لە دوو لای لاسەنگەی سەرەوە ڕەگی دووھەم وەربگیرێت، نایەکسانییەکە بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|\,$

ئەم نایەکسانییە دەبێتە یەکسانی ئەگەر و تەنھا ئەگەر xو y پەیوەستی ھێڵی بن.

ئەگەر $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C}$ و $y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C}$ ژمارەی ئاوێتەی دڵخواز بن و ھێمای بار، بۆ ئاوەڵی ئاوێتە بەکار بھێنرێت، دەتوانرێت ئەم نایەکسانییە بە شێوەی:

$|x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).$

بنووسرێت.